บทที่ 10

ตัวเลขของ ฟิโบนาชี่ (Fibonacci numbers)

ในหนังสือ ตำราแห่งการคำนวณ ฟิโบนาชี่ได้ตั้งปัญหาข้อหนึ่งไว้ดังต่อไปนี้

สมมติว่า กระต่ายหนึ่งคู่ต้องใช้เวลา 1 เดือนจึงจะเจริญพันธุ์ได้ และใช้ระยะเวลาตั้งท้องนาน 1 เดือนจึงจะออกลูกกระต่ายมาอีก 1 คู่ ถ้าเราเอากระต่ายมา 1 คู่แล้วเลี้ยงไว้ อยากทราบว่าภายใน 1 ปีจะมีกระต่ายกี่ตัว

ปัญหาที่ว่านี้ กลายเป็นที่มาของตัวเลขหรือลำดับตัวเลขของฟิโบนาชี่ครับ ในเดือนแรกจะมีกระต่ายแค่ 1 คู่ เพราะกระต่ายจะต้องใช้เวลา 1 เดือนกว่าจะเจริญพันธุ์ได้ เดือนที่สองก็ยังคงมีกระต่ายแค่ 1 คู่ เพราะว่าต้องใช้เวลาตั้งท้องอีก 1 เดือน ในเดือนที่สาม จึงจะมีลูกกระต่ายออกมาอีก 1 คู่ รวมเป็น 2 คู่ เดือนที่สี่ กระต่ายคู่แรกออกลูกมาได้อีก 1 คู่ แต่คู่ที่สองเพิ่งถึงวัยเจริญพันธุ์และกำลังตั้งท้องลูกครอกแรก ดังนั้นจึงมีกระต่าย 3 คู่ ในเดือนที่ห้า ทั้งสองคู่สามารถออกลูกได้ ดังนั้น จึงมีกระต่าย 5 คู่ แบบนี้ไปเรื่อยๆครับ รูปที่ 10.1 แสดงผังการเกิดของลูกกระต่าย แต่แสดงให้ดูแค่ 8 เดือนนะครับ เพราะตั้งปีนึง ที่คงไม่พอเขียนแผนผังแน่นอนครับ จุดแต่ละจุดแทนจำนวนกระต่าย 1 คู่ เมื่อคำนวณแล้วจะพบว่าใน 1 ปี เราจะได้ลูกกระต่ายถึง 144 คู่ และสำหรับคนอยากรู้อยากเห็น เชื่อไหมครับ ถ้ากระต่ายไม่ตายเลย ภายใน 100 เดือน จะมีกระต่ายทั้งหมด 354,224,848,179,261,915,075 คู่เชียวครับ (น่าจะล้นโลกซะก่อน)

แต่ความสำคัญของมันไม่ได้อยู่ที่ว่าสุดท้ายแล้วจะมีกระต่ายกี่ตัวหรอกครับ ที่สำคัญคือจำนวนคู่ของกระต่ายที่มีในแต่ละเดือน ตัวเลขเหล่านี้แหละครับ คือลำดับตัวเลขของฟิโบนาชี่ ถ้าสังเกตให้ดีจะพบว่า ตัวเลขในลำดับตัวเลขของฟิโบนาชี่เป็นผลรวมของตัวเลขก่อนหน้าของตัวมันเอง 2 ตัวรวมกัน เช่น

1+1 ได้ 2,

1+2 ได้ 3,

2+3 ได้ 5 และ

3+5 ได้ 8

เป็นอย่างนี้ไปเรื่อยๆครับ

อันที่จริงแล้ว ถ้าเราจับเอาตัวเลขอะไรก็ได้มา 2 ตัว แล้วกำหนดให้ตัวที่สามเท่ากับ 2 ตัวแรกรวมกัน และตัวที่สี่เท่ากับตัวที่สามบวกด้วยตัวที่สอง ตัวที่ห้าเท่ากับตัวที่สี่บวกด้วยตัวที่สาม เป็นเช่นนี้ไปเรื่อยๆ ก็จะเรียกลำดับของตัวเลขนี้ว่าลำดับตัวเลขของฟิโบนาชี่เหมือนกัน แต่ที่นิยมกันก็คือใช้ 2 ตัวแรกเป็น 1 และ 1 อย่างในตัวอย่างนี้แหละครับ

ดังนั้น ลำดับตัวเลขของฟิโบนาชี่ ในกรณีตัวอย่างนี้ (ซึ่งก็เป็นลำดับตัวเลขของฟิโบนาชี่ที่เป็นที่นิยมใช้กันมากที่สุดด้วย) ก็คือ

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144…..

ลำดับตัวเลขของฟิโบนาชี่ จะมีคุณสมบัติพิเศษหลายอย่างด้วยกัน ดังจะได้กล่าวในหัวข้อต่อไป

เนื้อหาต่อไป : คุณสมบัติบางประการของลำดับตัวเลขฟิโบนาชี่

เนื้อหาก่อนหน้า : ตัวเลขของฟิโบนาชี่และการประยุกต์ใช้